Програму з математики для вступників на перший курс навчання за освітньо-професійною програмою підготовки фахових молодших бакалаврів на основі базової середньої освіти у 2023 році розроблено на основі Державного стандарту базової загальної середньої освіти та на підставі Програми вступних випробувань до закладів фахової передвищої освіти.
Для успішної участі у сучасному суспільному житті і для вступу до коледжу абітурієнт повинен володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до практичних задач.
Мета вступного випробування з математики за допомогою конкурсного випробування оцінити знання і вміння вступників та рівень їх підготовленості.
На іспиті з математики вступник повинен:
- впевнено володіти обчислювальними навичками при виконанні дій з раціональними числами (натуральними, цілими, звичайними і десятковими дробами).
- уміти виконувати тотожні перетворення основних алгебраїчних виразів (многочленів; дробово-раціональних виразів; виразів, які містять степені, корені) та тригонометричних виразів.
- уміти розв’язувати рівняння, нерівності та їх системи першого і другого степенів і ті, що зводяться до них, а також розв’язувати задачі за допомогою рівнянь та їх систем.
- уміти будувати та читати графіки функцій, передбачені програмою.
- уміти зображати геометричні фігури і виконувати найпростіші побудови на площині.
- володіти навичками вимірювання і обчислення довжин, кутів, площ, які використовуються для розв’язання різних практичних задач.
- уміти застосовувати властивості геометричних фігур при розв’язанні задач на обчислення та доведення.
Програма з математики складається з двох розділів. Перший з них містить перелік основних понять і фактів алгебри і геометрії, що їх повинні знати вступники; другий – теореми і формули, які треба знати і вміти доводити.
І. Основні математичні поняття і факти
Арифметика і алгебра
- Натуральні числа і нуль. Прості і складені числа. Дільник, кратне. Найбільший спільний дільник. Найменше спільне кратне. Ознаки подільності на 2,3,5,9,10.
- Цілі числа. Раціональні числа. Їх додавання, віднімання, множення, ділення. Порівняння раціональних чисел.
- Дійсні числа, їх запис у вигляді десяткового дробу.
- Десяткові дроби. Читання та запис десяткових дробів. Порівняння десяткових дробів. Додавання, віднімання, множення та ділення десяткових дробів. Наближене значення числа. Округлення чисел. Відсоток. Основні задачі на відсотки.
- Додатні і від’ємні числа. Протилежні числа. Модуль числа, його геометричний зміст. Порівняння додатних і від’ємних чисел. Додавання, віднімання, множення і ділення додатних і від’ємних чисел.
- Поняття про число як результат вимірювань. Раціональні числа. Запис раціональних чисел у вигляді десяткових дробів. Властивості арифметичних дій.
- Числові вирази. Застосування букв для запису виразів. Числове значення буквених виразів. Обчислення за формулами. Перетворення виразів: розкриття дужок, зведення подібних доданків.
- Поняття про пряму та обернену пропорційні залежності між величинами. Пропорції. Основна властивість пропорції. Розв’язування задач за допомогою пропорції.
- Зображення чисел на прямій. Координата точки на прямій. Формула відстані між двома точками із заданими координатами.
- Прямокутна система координат на площині, точки на площині. Координати точки. Формула відстані між двома точками площини, заданими координатами.
- Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа. Числові нерівності. Почленне додавання та множення числових нерівностей.
- Вимірювання величин. Абсолютна та відносна похибки наближеного значення числа. Виконання арифметичних дій над наближеним значенням числа.
- Одночлен. Піднесення одночлена до степені.
- Многочлен. Степінь многочлена. Додавання, віднімання , множення многочленів. Розкладання многочлена на множники.
- Формули скороченого множення. Застосування формул скороченого множення для розкладання многочлена на множники.
- Квадратний тричлен. Розкладання формул скороченого множення для розкладання многочлена на множники.
- Алгебраїчний дріб. Основна властивість дробу. Скорочення алгебраїчних дробів. Додавання , віднімання, множення і ділення алгебраїчних дробів. Тотожні перетворення раціональних алгебраїчних виразів.
- Степінь з натуральним показником і його властивості. Степінь з раціональним показником та його властивості. Стандартний вигляд числа. Перетворення виразів із степенями.
- Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь. Властивості квадратних коренів. Наближене значення квадратного кореня.
- Арифметична та геометрична прогресії. Формули n-го члена та суми n перших членів прогресії. Нескінчена спадна геометрична прогресія та її сума.
- Рівняння . Корені рівняння. Лінійне рівняння з одним невідомим. Квадратне рівняння. Формули коренів квадратного рівняння. Розв’язування раціональних рівнянь.
- Системи рівнянь. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими та його геометрична інтерпретація. Розв’язання найпростіших систем, одне рівняння яких першого, а друге – другого степені. Розв’язування текстових задач за допомогою складання рівнянь, систем рівнянь.
- Лінійна нерівність з одним невідомим. Система лінійних нерівностей з одним невідомим. Розв’язування раціональних нерівностей. Метод інтервалів.
- Функції. Область визначення і область значень функції. Способи завдання функції. Графік функції. Зростання і спадання функції. Парні і непарні функції.
- Функції: у=kx+b, y=x2, у=ax2+bx+c, y=kx, y=, їх властивості та графіки.
Геометрія
- Початкові поняття планіметрії. Геометричні фігури. Поняття про аксіоми і теореми. Поняття про обернену теорему.
- Суміжні і вертикальні кути та їх властивості. Паралельні прямі і прямі, що перетинаються. Ознаки паралельності прямих. Перпендикулярні прямі. Теореми про перпендикулярність прямих.
- Трикутник. Властивості рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Теорема Піфагора та наслідки з неї.
- Паралелограм та його властивості. Ознаки паралелограма. Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості. Трапеція та її властивості. Правильні прямокутники.
- Коло і круг. Дотична до кола та її властивості.
- Властивості серединного перпендикуляра до відрізка. Коло, описане навколо трикутника. Властивість бісектриси кута. Коло, вписане в трикутник.
- Поняття про рівність фігур. Ознаки рівності трикутників .
- Поняття про подібність фігур. Ознаки подібності трикутників .
- Осьова і центральна симетрії; поворот, паралельне перенесення. Приклади фігур, що мають симетрію.
- Основні задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки.
- Довжина відрізка та її властивості. Відстань між точками. Відстань від точки до прямої.
- Величина кута та її властивості. Вимірювання вписаних кутів.
- Довжина кола. Довжина дуги. Число .
- Поняття про площі, основні властивості площі. Площа прямокутника, трикутника, паралелограма, трапеції. Відношення площ подібних фігур (без доведення). Площа круга та його частин.
- Синус, косинус і тангенс кута.
- Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Теореми синусів і косинусів . Розв’язання трикутників.
- Прямокутна система координат на площині. Формула відстані між двома точками площини, заданими координатами. Рівняння прямої і кола..
- Вектор. Довжина і напрям вектора. Кут між векторами. Колінеарні вектори. Сума векторів та її властивості. Добуток вектора на число та його властивості. Координати вектора. Скалярний добуток векторів та його властивості.
ІІ. Основні теореми і формули
Алгебра
- Степінь з натуральним показником та його властивості.
- Квадратний корінь та його властивості.
- Формула n-го члена арифметичної і геометричної прогресії.
- Формула суми n перших членів арифметичної та геометричної прогресії.
- Функція у=kx, її властивості і графік.
- Функція у=, її властивості і графік.
- Функція у=kx+в, її властивості і графік.
- Функція у=xn, її властивості і графік.
- Функція у= ax2+bx+c , її властивості і графік.
- Формули коренів квадратного рівняння.
- Запис квадратного тричлена у вигляді добутку лінійних множників.
- Формули скороченого множення.
- Розв’язування лінійних рівнянь і таких, що зводяться до лінійних.
- Розв’язування лінійних нерівностей і систем лінійних нерівностей.
- Розв’язування систем двох рівнянь.
Геометрія
- Властивості рівнобедреного трикутника.
- Властивості бісектриси кута.
- Ознаки паралельності прямих.
- Теорема про суму кутів трикутника.
- Властивості паралелограма та його діагоналей.
- Ознаки рівності, подібності трикутників.
- Властивості прямокутника, ромба, квадрата.
- Коло, вписане в трикутник, і коло, описане навколо трикутника.
- Теорема про кут, вписаний в коло.
- Властивості дотичної до кола.
- Теорема Піфагора, та її наслідки.
- Значення синуса, косинуса кутів 0о, 30о, 45о, 60о,90о.
- Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.
- Основні тригонометричні тотожності.
- Сума векторів та її властивості.
- Скалярний добуток векторів і його властивості.
- Формули площ паралелограма, трикутника, трапеції.
- Рівняння прямої і кола.
- Теореми косинусів і синусів, та їх наслідки.На виконання роботи відведено 90 хвилин.
Критерії оцінювання результатів співбесіди
Для проведення співбесіди передбачаються запитання та завдання, рівень яких відповідає чинній програмі. Матеріали співбесіди включають декілька питань з математики та мають теоретичну та практичну спрямованість. У кожному варіанті запитання / завдання складені з наміром виявити ступінь теоретичної підготовки вступника та вміння на практиці застосувати теоретичні відомості.
До навчальних досягнень вступників з математики, які безпосередньо підлягають оцінюванню під час співбесіди, належать:
- теоретичні знання, що стосуються математичних понять, тверджень, теорем, властивостей, ознак, методів та ідей математики;
- знання, що стосуються способів діяльності, які можна подати у вигляді системи дій (правила, алгоритми);
- здатність безпосередньо здійснювати уже відомі способи діяльності відповідно до засвоєних правил, алгоритмів (наприклад, виконувати певне тотожне перетворення виразу, розв’язувати рівняння певного виду, виконувати геометричні побудови, досліджувати функцію на монотонність, розв’язувати текстові задачі розглянутих типів тощо);
- здатність застосовувати набуті знання і вміння для розв’язання навчальних і практичних задач, коли шлях, спосіб такого розв’язання потрібно попередньо визначити (знайти) самому.
Вступник занотовує в бланку співбесіди зміст одержаних запитань. Повну відповідь з аналізом і формулювання визначень треба давати усно. При оцінюванні відповіді вступника потрібно керуватися такими критеріями: правильність і повнота відповіді; ступінь усвідомленості, розуміння вивченого; здатність практично реалізувати набуті знання; мовленнєве оформлення відповіді; рівень самостійності вступника під час усної відповіді. Відповідь вступника має бути зв’язною, логічно послідовною; відповідаючи, він повинен виявляти теоретичні знання з тієї чи іншої теми, уміти практично застосовувати правила, обґрунтовувати їх, аналізувати визначені програмою явища.
Відповідь вступника оцінюється, результат мотивується. Використання електронних приладів, підручників, навчальних посібників та інших матеріалів під час індивідуальної усної співбесіди заборонено. Максимальна кількість балів, яку може набрати вступник, правильно відповівши на всі запитання/завдання, – 100, що відповідають 200 балам за рейтинговою шкалою від 100 до 200 балів. Переведення балів у рейтингову оцінку за шкалою від 100 до 200 балів здійснюють екзаменатори за відповідною таблицею (подано нижче).
Для співбесіди пропонується 6 питань (4 питання з алгебри і 2 з геометрії), що дає можливість перевірити вище зазначені уміння й навички.
Час проведення бесіди – 10 -15 хвилин на кожного абітурієнта.
Відповідь оцінюється 100-200 балами
| 100-200 балова | Критерії оцінювання |
| 100 -104 |
Вступник виконує однокрокові дії з числами, найпростішими математичними виразами; впізнає окремі математичні об’єкти і пояснює свій вибір Вступник співставляє дані або словесно описані математичні об’єкти за їх суттєвими властивостями; |
| 104-110 |
Абітурієнт відтворює означення математичних понять і формулювання тверджень; називає елементи математичних об’єктів; формулює деякі властивості математичних об’єктів; виконує завдання обов’язкового рівня |
| 111-120 |
Вступник ілюструє означення математичних понять, формулювань теорем і правил виконання математичних дій прикладами; розв’язує завдання обов’язкового рівня за відомими алгоритмами з частковим поясненням |
| 121-135 |
Вступник ілюструє означення математичних понять, формулювань теорем і правил виконання математичних дій власними прикладами; самостійно розв’язує завдання обов’язкового рівня з достатнім поясненням; записує математичний вираз, формулу за словесним формулюванням і навпаки |
| 136-148 |
Вступник застосовує означення математичних понять та їх властивостей для розв’язання завдань у знайомих ситуаціях; знає залежності між елементами математичних об’єктів; самостійно виправляє вказані йому (їй) помилки; розв’язує завдання, передбачені програмою, без достатніх пояснень |
| 149-157 |
Вступник володіє визначеним програмою навчальним матеріалом; розв’язує завдання, передбачені програмою, з частковим поясненням; частково аргументує математичні міркування й розв’язування завдань |
| 158-169 |
Вступник вільно володіє визначеним програмою навчальним матеріалом; самостійно виконує завдання в знайомих ситуаціях з достатнім поясненням; виправляє допущені помилки; повністю аргументує обґрунтування математичних тверджень; розв’язує завдання з достатнім поясненням |
| 170-179 |
Знання, вміння й навички повністю відповідають вимогам програми, зокрема: вступник усвідомлює нові для нього (неї) математичні факти, ідеї, вміє доводити передбачені програмою математичні твердження з достатнім обґрунтуванням; розв’язує завдання з повним поясненням і обґрунтуванням |
| 180-189 |
Вступник вільно і правильно висловлює відповідні математичні міркування, переконливо аргументує їх; знає, передбачені програмою, основні методи розв’язання завдання і вміє їх застосовувати з необхідним обґрунтуванням |
| 190-200 |
Вступник виявляє варіативність мислення і раціональність у виборі способу розв’язання математичної проблеми; вміє узагальнювати й систематизувати набуті знання; здатний(а) до розв’язування нестандартних задач і вправ |
Список рекомендованої літератури
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Математика для 5 кл.Гімназія,2005.
- Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика для 5 кл. Зодіак-ЕКО, 2005.
- Кравчук В.Р., Янченко Г.М. Математика для 5 кл. 2005.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Математика для 6 кл.Гімназія,2006
- Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика для 6 кл. Генеза, 2006.
- Кравчук В.Р., Янченко Г.М. Математика для 6 кл. 2006.
- Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра 7 кл. Зодіак-ЕКО, 2007.
- Кравчук В.Р., Янченко Г.М. Алгебра 7 кл. 2007.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 кл.Гімназія,2007.
- Бурда М.І., Тарасенкова Н.А., Геометрія 7 кл. Зодіак-ЕКО, 2007.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Геометрія 7 кл. Гімназія,2007.
- Погорєлов О.В. Геометрія 7-9 кл. Школяр, 2004.
- Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г. Геометрія 7-9 кл. Вежа, 2004.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 8 кл. Гімназія,2008.
- Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра 8 кл. Зодіак-ЕКО, 2008.
- Бевз Г.П., Бевз В.Г. Геометрія 8 кл. Вежа, 2008.
- Бурда М.І., Тарасенкова A. Геометрія: Підручник для 8 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2008.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.Геометрія 8 кл.Гімназія,2008.
- Бевз Г.П. , Бевз В.Г. Алгебра 9 кл. К.: Зодіак-ЕКО,
- Кравчук В.Р., Підручна М.В., Янченко Г.М. Алгебра 9 кл. 2003.
- Апостолова Г.В. Геометрія 9 кл. Генеза, 2006.
- Бурда М.І., Тарасенкова A. Геометрія: Підручник для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2009.
- Мерзляк А.Г., Номировський Д.А.,Полянський В.Б., Якір М.С. Алгебраїчний тренажер. – : Гімназія, 2009.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 8: Підручник для класів із поглибленим вивченням математики. – : Гімназія, 2008.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 9: Підручник для класів із поглибленим вивченням математики. – X.: Гімназія, 2009.